Algèbre 5 cours et TD corrigé

Algebre 5 SMA S4 cours et  TD corrigé

TABLE DES MATIÈRES

1 Formes linéaires – Dualité 

• 1.1 Formes linéaires et hyperplans 
• 1.5 Espace vectoriel dual 
• 1.7 Base duale 
• 1.12 Base préduale
• 1.15 Prolongement des formes linéaires
• 1.18 Orthogonalité 
• 1.26 Bidual 
• 1.29 Transposée d’une application linéaire 
• 1.35 Exercices

2 Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques 

• 2.1 Formes bilinéaires symétriques 
• 2.1.1 Définition et propriètés élémentaires 
• 2.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire 
• 2.4.1 Ecriture matricielle 
• 2.4.2 Changement de base 
• 2.5.1 Rang d’une forme bilinéaire 
• 2.7.1 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées 
• 2.9.1 Orthogonalité
• 2.14.1 Bases orthogonales 
• 2.18 Formes quadratiques 
• 2.18.1 Définition et propriètés élémentaires
• 2.21.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique
• 2.22 Signature d’une forme bilinéaire symétrique 
• 2.22.1 bases orthonormales 
• 2.25.1 Théorème d’inertie de Sylvestre 
• 2.27 Exercices

3 Espaces eucldiens

• 3.1 Produit scalaire 
• 3.1.1 Définition et propriètés élémentaires
• 3.3.1 Notations et règles de calcul
• 3.3.2 Utilisation des bases orthonormales 
• 3.4 Inégalité de cauchy-Schwartz 
• 3.10 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
• 3.13 Changement de bases orthonormales - Orientation 
• 3.19 Produit vectoriel 
• 3.19.1 Formes linéaires d’un espace euclidien
• 3.20.1 Définition et propriètés du produit vectoriel 
• 3.25 Exercices

4 Endomorphismes d’un espace euclidiens

• 4.1 Endomorphisme adjoint 
• 4.5 Projection orthogonale
• 4.5.1 Projection suivant une direction 
• 4.7.1 Définition et propriètés d’une projection orthogonale 
• 4.10.1 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel 
• 4.13 Symétrie orthogonale 
• 4.13.1 Symétrie suivant une direction 
• 4.15.1 Propriètés des symétries orthogonales
• 4.18 Endomorphismes symétriques 
• 4.18.1 Définition et propriètés des endomorphismes symétriques 
• 4.22.1 Formes bilinéaires symétriques d’un espace euclidien 
• 4.27 Endomorphismes orthogonaux
• 4.27.1 Définition et propriètés de base 
• 4.32.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 2 
• 4.33.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 3 
• 4.35.1 Cas général 
• 4.38 Exercices

5 Formes sesquilinéaires - Formes quadratiques hermitiennes

• 5.1 Formes sesquilinéaires - Formes hemitiennes 
• 5.1.1 Quelques rappels sur les nombres complexes 
• 5.1.2 Définition et propriètés de base
• 5.3.1 Matrice d’une forme sesquilinéaire 
• 5.4.1 Ecriture matricielle
• 5.4.2 Changement de base 
• 5.5.1 Rang d’une forme sesquilinéaire 
• 5.6.1 Formes hermitienne non dégénérée
• 5.8.1 Orthogonalité
• 5.12.1 Bases orthogonales 
• 5.16 Formes quadratiques hermitiennes 
• 5.16.1 Définition et propriètés élémentaires 
• 5.19.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique hermitienne 
• 5.20 Exercices 

6 Espaces hermitiens

• 6.1 Produit hermitien
• 6.1.1 Définition et exemples 
• 6.3.1 Notations et règles de calcul 
• 6.3.2 Utilisation des bases orthonormales 
• 6.4 Inégalité de cauchy-Schwartz 
• 6.8 Endomorphismes d’un espace hermitien 
• 6.8.1 Endomorphisme adjoint 
• 6.11.1 Endomorphismes normaux 
• 6.15.1 Endomorphismes hermitiens
• 6.18.1 Endomorphismes unitaires 
• 6.23 Exercices

 TD : Série n1 à 5 avec corrections

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