Cours Probabilités-Statistiques SMI SMA S3

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Probabilités 

La théorie des probabilités : essayer de prévoir l’imprévisible. 

   Les jeux de hasard sont l’application la plus naturelle des probabilités mais de nombreux autres  domaines s’appuient ou se servent des probabilités. Citons entre autres: 

• les statistiques, sont un vaste domaine qui s’appuie sur les probabilités pour le traitement et l’interprétation des données. 
• La théorie des jeux et ses applications en micro-économie (1994, John Nash, mathématicien spécialiste de théorie des jeux reçoit le prix Nobel d’économie, avec J. Harsanyi et R. Selten) 
• théorie de la décision (imagerie médicale, astronomie, reconnaissance de caractères, filtres anti pourriel). 
• les mathématiques financières font un large usage de la théorie des probabilités pour l’étude des cours de la bourse et des produits dérivés. 

Quels sont les champs d’applications en physique et sciences de l’ingénieur ? 

• En traitement du signal :processus aléatoires, reconnaissance de signaux, théorie de l’information,
• En physique : la physique statistique, la mécanique quantique,
• et les nombreuses applications de la statistique : fiabilité et contrôle de qualité, mesures etc...

Statistiques

La statistique a pour objectif d’extraire des informations sur la loi de probabilité inconnue d’une v.a. à partir des résultats d’expériences aléatoires réalisées sur cette variable.

      Le problème se pose en général dans les termes suivants. On dispose d’une population qui est un ensemble fini ou non d’individus possédant chacun une (ou plusieurs) caractéristique(s) dont la valeur est aléatoire d’un individu à l’autre. On peut considérer que cette caractéristique X est une variable aléatoire dont la loi (inconnue en général) correspond à sa distribution sur la population.

Contents

I COURS 3

1 Probabilités 

• 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.2 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.2.2 Ensemble fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.2.3 Ensemble des évènements F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.2.4 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.3 Exemples d’espaces probabilisés finis ou dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.3.2 Espace fini équiprobable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.3.3 Dénombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.3.4 L’ensemble est dénombrable mais infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.4 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.4.1 Définition d’une probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.4.2 Probabilité des causes ; formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.4.3 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Variables aléatoires discrètes 

• 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 2.2 Loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.2.1 Distribution de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.2.2 Espérance mathématique, Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.3 Exemples de loi de probabilités discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.3.1 Loi discrète uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Variables aléatoires continues 

• 3.1 Loi continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.2 Fonction de répartition ; densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.2.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.2.2 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.2.3 Loi mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 3.3 Caractéristiques d’une loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 3.3.2 Moments, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 3.3.3 Autres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 3.3.4 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 3.4 Fonction d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 3.5 Loi normale (ou loi de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 3.5.2 La loi normale comme limite de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 3.5.3 Autres variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Plusieurs variables aléatoires 

• 4.1 Couples de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.1.1 Lois de probabilité ; covariance; corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.1.2 Probabilités conditionnelles ; indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 4.1.3 Somme de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 4.1.4 Rapport de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4.2 Répétition d’expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 4.2.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 4.2.2 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Quelques éléments de statistique 

• 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5.2 Estimations ponctuelles d’une moyenne, d’une variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5.3 Estimation d’une loi de probabilité ; histogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.3.1 Estimation d’une probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.3.2 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 5.4 Estimations par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 5.5 Estimation d’une loi de probabilité ; test du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II EXERCICES 53

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